540 - O paradoxo do Seu Arlindo

Bertrand Russell

Fonte: Wikipedia

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O paradoxo do Seu Arlindo

Paulo Heuser

O paradoxo do Hotel de Hilbert é uma daquelas coisas que apenas os matemáticos conseguem entender, ou fingem que entendem. Paradoxos, por si sós, já são esquisitos, pois parecem ser o que não são, ou, são o que não parecem, ou algo parecido. O matemático alemão David Hilbert (1862-1943) demonstrou que sempre é possível acomodar mais um hóspede, mesmo que um hotel esteja lotado, desde que ele possua infinitos quartos. O matemático brasileiro José Costa (1930-) criou uma variante do paradoxo proposto por Hilbert, o paradoxo do Senado de Costa.

Considere um senado hipotético com infinitos cargos em comissão, todos ocupados, isto é, todos os cargos em comissão contêm um parente. Suponha que um novo parente chega e gostaria de se acomodar no senado. Se o senado tivesse apenas um número finito de cargos em comissão, então é claro que o requerimento não poderia ser atendido. Porém, como o senado possui um número infinito de cargos em comissão, movendo-se o parente do cargo 1 para o cargo 2, o parente do cargo 2 para o cargo 3, e assim por diante, podemos acomodar o novo parente no cargo 1, que agora está vago. Por um argumento análogo é possível alocar um número infinito de novos parentes, apenas movendo o parente do cargo 1 para o cargo 2, o parente do cargo 2 para o cargo 4, e, em geral, do cargo N para o cargo 2N. Assim, todos os cargos em comissão de número ímpar estarão livres para os novos parentes.

Apesar de muito atual, o paradoxo do Senado de Costa não é o foco deste texto, por razões que não vêm ao caso. O que nos interessa, no momento, aconteceu ontem. Eu caminhava pela Dr. Flores quando me lembrei do Seu Arlindo Barth, meu primeiro barbeiro. Lembrei-me também do paradoxo do barbeiro, cuja autoria é atribuída ao brilhante matemático galês Bertrand Arthur William Russell (1872-1970). O resumo da ópera é o seguinte: o barbeiro de uma aldeia hipotética faz diariamente a barba de todos os aldeões que não barbeiam a sim mesmos, e a mais ninguém. Ora, se o barbeiro barbeia apenas os que não barbeiam a si mesmos, ele terá de barbear a si mesmo, criando o maior forrobodó lógico, falando em linguagem científica matematicamente aceitável. Esse teorema poderia passar despercebido, caso eu não tivesse sido abordado por diversas pessoas que gritavam: - Corto cabelo e compro ouro! Naquele momento, parei e lembrei-me do Seu Arlindo. Não consegui imaginar o Seu Arlindo comprando ouro, pois deixaria de ser um barbeiro para se tornar um ourives. Se o paradoxo do Seu Arlindo ourives é ruim, pode haver algo bem pior, pois, mais adiante, outro sujeito gritava:

- Corto cabelo, compro ouro e implanto dentes!

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